Modelado de Saturación Magnética de Transformadores: La Ecuación de Frölich en ATPDraw y PSCAD

En los estudios de simulación electromagnética de sistemas de potencia (EMT), pocos fenómenos presentan un impacto tan pronunciado sobre la calidad de la onda de tensión como la energización de grandes transformadores de potencia.

Durante la maniobra de cierre de un interruptor, el núcleo magnético puede experimentar corrientes de inserción (inrush currents) de hasta 6 a 10 veces la corriente nominal, ricas en armónicos (especialmente segundo armónico) y con componentes aperiódicas de decaimiento lento. Estos transitorios provocan caídas de tensión en barras vecinas, disparos indebidos de protecciones diferenciales y riesgos severos de ferrorresonancia.

Para reproducir fielmente este fenómeno en programas como ATPDraw / EMTP o PSCAD, se requiere alimentar la rutina de inductancia no lineal (Type 96 / 98 Pseudo-Nonlinear Inductor o Saturable Transformer) con pares de puntos de flujo concatenado versus corriente (\lambda - i).

Sin embargo, los protocolos de prueba de fábrica sólo suministran el ensayo de circuito abierto (ensayo de vacío) en un rango estrecho: típicamente entre el 90% y el 115% de la tensión nominal.
¿Cómo extrapolar con rigor científico la curva hacia la zona de saturación profunda (1.8 a 2.5\text{ p.u.} de flujo)? La solución estándar en la ingeniería de transitorios es la ecuación hiperbólica de Frölich.

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1. El Fundamento Matemático de la Ecuación de Frölich

El modelo de Frölich describe la relación no lineal entre la tensión eficaz aplicada y la corriente eficaz de excitación mediante una función hiperbólica racional:

V = \frac{I}{a + b \cdot I}

Donde:

• V: Tensión de excitación eficaz (en \text{kV} o en por unidad \text{p.u.}).
• I: Corriente de excitación eficaz (en \text{A} o en por unidad \text{p.u.}).
• a y b: Parámetros característicos del núcleo ferromagnético.
  • Cuando I \to 0 (zona lineal de permeabilidad máxima), la pendiente inicial viene dada por 1/a.
  • Cuando I \to \infty (saturación profunda), la tensión tiende a la asíntota 1/b, que enlaza con la inductancia del devanado en aire (air-core inductance).

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2. Linealización y Regresión Numérica

La gran ventaja computacional y analítica del método de Frölich es que puede linealizarse algebraicamente con facilidad. Dividiendo ambos miembros entre V e invirtiendo:

\frac{I}{V} = a + b \cdot I

Si definimos la variable auxiliar Y = \frac{I}{V} y la variable independiente X = I, obtenemos la ecuación clásica de una línea recta:

Y = a + b \cdot X

A partir de los puntos medidos en fábrica en el ensayo de vacío:

(V_1, I_1), (V_2, I_2), \dots, (V_n, I_n)

Se calculan las parejas (X_k = I_k, \ Y_k = I_k / V_k) y se aplica una regresión lineal por mínimos cuadrados para determinar los coeficientes óptimos a y b, junto con el coeficiente de correlación R^2.

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3. Conversión a Flujo Concatenado y Corriente Pico (\lambda - i) para ATPDraw

Los motores de simulación EMT como ATPDraw y PSCAD resuelven las ecuaciones diferenciales en el dominio del tiempo paso a paso. Por ello, requieren la curva característica en valores instantáneos: flujo magnético concatenado (\lambda en \text{V}\cdot\text{s}) frente a corriente pico (i en \text{A}):

1. Tensión a Flujo:

   
   

\lambda_{\text{pico}} = \frac{\sqrt{2} \cdot V_{\text{rms}}}{\omega} = \frac{\sqrt{2} \cdot V_{\text{rms}}}{2 \pi f}

Corriente a Valor Pico:

i_{\text{pico}} = \sqrt{2} \cdot I_{\text{rms}}

CALCELEC realiza esta transformación de forma automatizada, permitiendo generar la tabla lista para copiar y pegar en la tarjeta de saturación de ATPDraw.

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4. Modelado en CALCELEC: Paso a Paso

En el módulo Saturación Núcleo Frölich (saturacion_frolich) de CALCELEC:

1. Ingresa los datos nominales de placa:
   • Tensión nominal (U_n en \text{kV}), Potencia nominal (S_n en \text{MVA}), y frecuencia (50 o 60\text{ Hz}).
   • Selección de unidades: en valores absolutos (\text{kV}, \text{A}) o en por unidad (\text{p.u.}).
2. Puntos de ensayo de vacío:
   • Introduce los pares de puntos (V, I) reportados en el protocolo de fábrica (por defecto la herramienta incluye una plantilla de prueba representativa).
3. Factor de extrapolación y resolución:
   • Define hasta qué nivel de saturación deseas extrapolar (por ejemplo, 2.5\text{ p.u.}) y la cantidad de puntos interpolados deseados para asegurar una curva suave sin oscilaciones numéricas.
4. Resultados generados:
   • Parámetros a y b de Frölich con su bondad de ajuste R^2.
   • Tabla completa de extrapolación (V_{\text{rms}}, I_{\text{rms}}, \lambda, i_{\text{pico}}).
   • Formato texto listo para exportar directamente a ATPDraw (Card / Data Table).

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5. Caso Práctico de Ajuste

Imaginemos un transformador de 230/115\text{ kV}, 100\text{ MVA} cuyos ensayos de vacío arrojaron:

Tensión (V en \text{p.u.})	Corriente excitación (I en %)
0.90	0.25%
1.00	0.35%
1.05	0.50%
1.10	0.85%
1.15	1.40%
1.20	2.20%

El motor de CALCELEC ajusta la recta de Frölich con un factor R^2 > 0.99, generando una extrapolación suave y físicamente consistente hasta 2.5\text{ p.u.}, evitando las discontinuidades y derivadas infinitas que causan bloqueos de convergencia en ATPDraw.

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6. Conclusión

Ajustar la saturación con la ecuación de Frölich garantiza simulaciones de energización realistas, precisas y numéricamente estables.

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